پاسخ تمرین صفحه 105 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی ششم صفحه 105 - فعالیت 1 سلام به دانش‌آموزان عزیز! برای پیدا کردن فاصله یک نقطه از یک خط، باید کوتاه‌ترین مسیر را رسم کنیم. طبق تعریف ریاضی، **فاصله یک نقطه از یک خط**، طول پاره‌خطی است که از آن نقطه بر خط **عمود** می‌شود. بنابراین برای حل این تمرین: 1. خط‌کش یا گونیا را طوری قرار دهید که یک ضلع آن بر خط نارنجی منطبق شود. 2. ضلع دیگر گونیا را تا جایی حرکت دهید که به نقطه (م) برسد. 3. پاره‌خطی از نقطه (م) به خط رسم کنید که با آن زاویه $90$ درجه (قائمه) بسازد. این کار را برای هر دو خط داده شده انجام دهید تا فاصله‌های عمودی به دست آیند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی ششم صفحه 105 - فعالیت 2 در این تمرین یاد می‌گیریم که چطور برای ضلع‌های مشخص شده، **عمودمنصف** رسم کنیم. به یاد داشته باشید که عمودمنصف خطی است که دو ویژگی دارد: 1. از **وسط** پاره‌خط می‌گذرد. 2. بر پاره‌خط **عمود** است. **گام‌های حل برای هر شکل:** * **مثلث (سمت چپ):** ابتدا طول ضلع قرمز پایین را اندازه بگیرید و نقطه وسط آن را پیدا کنید. سپس با گونیا، خطی عمود از آن نقطه رسم کنید. * **مثلث قائم‌الزاویه (وسط):** برای هر دو ضلع قرمز (قاعده و ارتفاع)، ابتدا نقطه میانی را پیدا کرده و سپس خطوط عمود بر آن‌ها را رسم کنید. * **مستطیل (سمت راست):** برای ضلع قرمز پایین، نقطه وسط را پیدا کنید و خطی عمود به سمت بالا بکشید.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی ششم صفحه 105 - فعالیت 3 بیایید با استفاده از خواص مثلث‌ها و نیمسازها، مجهول‌ها را پیدا کنیم. **شکل سمت چپ (نیمساز):** در این مثلث، یک زاویه $70^{\circ}$ و دیگری $40^{\circ}$ است. مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است: $$180 - (70 + 40) = 70$$ بنابراین زاویه سوم مثلث $70^{\circ}$ است. زاویه مجهول در کنار آن قرار دارد و این دو با هم یک زاویه **نیم‌صفحه** ($180^{\circ}$) می‌سازند: $$180 - 70 = 110$$ چون خط چین **نیمساز** است، زاویه $110$ را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند: $$110 \div 2 = 55$$ پاسخ: **55 درجه**. **شکل وسط (زاویه‌های متقابل به رأس):** در مثلث سمت چپ، مجموع زوایا $180$ است. زاویه‌ها $90$ (قائمه) و $55$ هستند: $$180 - (90 + 55) = 35$$ زاویه راس مشترک در سمت چپ $35^{\circ}$ است. چون این دو مثلث **متقابل به رأس** هستند، زاویه راس مثلث سمت راست هم $35^{\circ}$ است. حالا برای مثلث سمت راست داریم: $$180 - (100 + 35) = 45$$ پاسخ: **45 درجه**. **شکل سمت راست (متوازی‌الاضلاع):** در متوازی‌الاضلاع، زاویه‌های روبرو با هم برابرند. پس زاویه بزرگ روبروی $70^{\circ}$ نیز $70^{\circ}$ است. چون خط چین‌ها **نیمساز** هستند، زاویه را نصف می‌کنند: $$70 \div 2 = 35$$ در مثلث کوچکی که در وسط ایجاد شده، دو زاویه $35$ درجه داریم: $$180 - (35 + 35) = 110$$ پاسخ: **110 درجه**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی ششم صفحه 105 - تمرین 4 بیایید این مسئله را تحلیل کنیم. **گام اول: پیدا کردن زاویه (1)** در سوال گفته شده مکمل زاویه (1) برابر $150$ درجه است. می‌دانیم مجموع دو زاویه **مکمل** $180$ درجه است. $$\text{زاویه (1)} = 180 - 150 = 30^{\circ}$$ **گام دوم: پیدا کردن زاویه (2)** با نگاه به تصویر، می‌بینیم که زاویه (1) و زاویه (2) **متقابل به رأس** هستند. طبق قانون هندسه، زاویه‌های متقابل به رأس همیشه با هم **برابر** هستند. **نتیجه:** چون زاویه (1) برابر $30$ درجه است، پس زاویه (2) نیز **30 درجه** می‌باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی ششم صفحه 105 - تمرین 5 برای حل این مسئله از روش جدول تناسب یا سهم‌بندی استفاده می‌کنیم. **نکته کلیدی:** مجموع دو زاویه **متمّم** همیشه **90 درجه** است. **مراحل حل:** 1. نسبت‌ها را با هم جمع می‌کنیم تا کل سهم‌ها مشخص شود: $2 + 3 = 5$ سهم. 2. حالا باید ببینیم هر سهم چند درجه است: $$90 \div 5 = 18$$ **محاسبه زاویه‌ها:** * **زاویه اول:** $2 \times 18 = 36$ درجه. * **زاویه دوم:** $3 \times 18 = 54$ درجه. پاسخ: زاویه‌ها **36 درجه** و **54 درجه** هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی ششم صفحه 105 - تمرین 6 این یک سوال مفهومی و زیباست! بیایید از یک حقیقت ریاضی استفاده کنیم: اختلاف بین مکمل و متمّم هر زاویه همیشه $90$ درجه است ($180 - 90 = 90$). **استفاده از نسبت:** نسبت متمّم به مکمل برابر $2$ به $5$ است. اختلاف نسبت‌ها: $5 - 2 = 3$ واحد. این $3$ واحد در واقع همان اختلاف $90$ درجه‌ای است که گفتیم. **محاسبه مقدار هر واحد:** $$90 \div 3 = 30$$ پس هر واحد نسبت برابر با $30$ درجه است. **پیدا کردن متمّم:** متمّم زاویه = $2 \times 30 = 60$ درجه. **پیدا کردن خود زاویه:** چون متمّم زاویه $60$ درجه است، پس خود زاویه برابر است با: $$90 - 60 = 30$$ پاسخ: زاویه مورد نظر **30 درجه** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی ششم صفحه 105 - تمرین 7 برای محاسبه زاویه بین عقربه‌ها، به یاد داشته باشید که کل ساعت $360$ درجه است و هر عدد ساعت نشان‌دهنده $30$ درجه است ($360 \div 12 = 30$). **زمان 3:00** عقربه ساعت‌شمار روی 3 و دقیقه‌شمار روی 12 است. فاصله آن‌ها 3 شماره است: $3 \times 30 = 90$. زاویه: **90 درجه** (قائمه). **زمان 3:30** عقربه دقیقه‌شمار روی 6 است. اما عقربه ساعت‌شمار دقیقاً روی 3 نیست، بلکه **وسط 3 و 4** قرار دارد (چون نیم ساعت گذشته است). فاصله از 3/5 تا 6 برابر $2/5$ شماره است: $$2/5 \times 30 = 75$$ زاویه: **75 درجه**. **زمان 6:00** عقربه ساعت‌شمار روی 6 و دقیقه‌شمار روی 12 است. آن‌ها دقیقاً روبروی هم هستند. زاویه: **180 درجه** (نیم‌صفحه).